चर प्रतिस्थापन

प्रथम सिद्धांतों से बहु-चर कलन

यह अंतिम पाठ कोर्स के दो हिस्सों को एक साथ बाँधता है। जब आप एक समाकलन में चर बदलते हैं प्रतिस्थापन x = g(u) से, आपको यह हिसाब रखना होता है कि प्रतिस्थापन समष्टि को कितना खींचता है। वह खिंचाव गुणक जैकोबियन सारणिक है मॉड्यूल 3 से, इसलिए अंतिम सूत्र वह जगह है जहाँ कोर्स के अवकलज और समाकलन अंततः मिलते हैं।

यह कोर्स-I u-प्रतिस्थापन का बहु-चर व्यापकीकरण है। वहाँ, गुणक |dx/du| था, एक 1×1 'जैकोबियन'। यहाँ |det J_g| है, आयतन-स्केलिंग गुणक: जैसे मानचित्र g u-समष्टि के छोटे डिब्बों को x-समष्टि में संकुचित या विस्तारित करता है, सारणिक समाकलन को पुनःस्केल करता है ताकि कुल सही रहे।

वर्गाकार x-y टाइलों के साथ एक गोल क्षेत्र पर एकीकृत (integrate) करने की कोशिश करना एक गोलाकार गोलचक्कर (roundabout) को आयताकार ईंटों से पक्का करने जैसा है: किनारे कभी भी सफाई से फिट नहीं होते हैं। गोलाकार (ध्रुवीय) निर्देशांक (polar coordinates) पर स्विच करें जो केंद्र के चारों ओर लपेटते हैं और आकार स्वाभाविक रूप से जगह पर आ जाता है। स्विच करने की कीमत खिंचाव कारक (stretch factor) है, जो क्षेत्र तत्व को r dr dθ में बदल देता है क्योंकि केंद्र से दूर छल्ले (rings) अधिक जगह घेरते हैं।