प्रथम सिद्धांतों से बहु-चर कलन
अब तक आउटपुट एक संख्या। इसे सदिश भी बनने दें। एक फलन f: Rⁿ → Rᵐ एक सदिश लेता और एक सदिश देता: कई संख्याएँ अंदर, कई बाहर। यही एक तंत्रिका-नेटवर्क परत का सटीक आकार, जहाँ एक इनपुट सदिश आता और एक रूपांतरित सदिश निकलता।
किसी भी सदिश-मान फलन को समझने का तरीका इसे एक आउटपुट निर्देशांक एक बार पढ़ना। हर आउटपुट घटक स्वयं एक साधारण अदिश फलन Rⁿ → R, एक घटक फलन। m जमा करें और पूरा मानचित्र।
एक मिक्सिंग डेस्क (mixing desk) कुछ इनपुट डायल को एक साथ कई आउटपुट रीडिंग में बदल देता है: स्लाइडर्स को हिलाएं और हर मीटर एक साथ प्रतिक्रिया करता है। यह एक फ़ंक्शन f: Rⁿ → Rᵐ है: इनपुट का एक वेक्टर अंदर जाता है, आउटपुट का एक वेक्टर बाहर आता है। इसे समझने के लिए आप एक बार में एक मीटर पढ़ते हैं, क्योंकि प्रत्येक आउटपुट निर्देशांक f₁, f₂, इत्यादि उन्हीं इनपुट डायल से बनी अपनी खुद की साधारण रेसिपी (recipe) है।