प्रथम सिद्धांतों से बहु-चर कलन
जैसे 1-D फलन का द्वितीय अवकलज होता है, वैसे ही बहु-चर फलन के द्वितीय-क्रम आंशिक अवकलज होते हैं। आप दो बार अवकलन करते हैं। नई बात यह है कि अब आप चुन सकते हैं कि हर बार किस चर के सापेक्ष अवकलन करना है, और जब आप उन्हें मिलाते हैं तो कुछ साफ-सुथरा होता है।
शुद्ध द्वितीय आंशिक ∂²f/∂x² और ∂²f/∂y² प्रत्येक अक्ष के अनुदिश वक्रता मापते हैं। मिश्रित आंशिक ∂²f/∂x∂y पहले y के सापेक्ष, फिर x के सापेक्ष अवकलन करता है; यह मापता है कि एक दिशा में ढाल कैसे बदलती है जैसे ही आप दूसरी दिशा में चलते हैं।
पहला आंशिक व्युत्पन्न आपको पहाड़ी की ढलान बताता है; एक दूसरा आंशिक व्युत्पन्न आपको बताता है कि चलते समय वह ढलान स्वयं कैसे बदल रही है, जो ढलान की वक्रता (curvature) है। पूर्व की ओर चलते हुए, क्या ज़मीन लगातार अधिक खड़ी होती जाती है या समतल होने लगती है? जैसे-जैसे आप और पूर्व की ओर बढ़ते हैं, पूर्व की ओर ढलान ∂f/∂x का वह झुकाव दूसरा आंशिक व्युत्पन्न ∂²f/∂x² है, जो उस दिशा में पहाड़ी की वक्रता है।