सममित आव्यूह — रैखिक बीजगणित

रैखिक मानचित्र, सदिशों और आव्यूहों की ज्यामिति और बीजगणित

सममित आव्यूह (A = Aᵀ) असामान्य रूप से ढलवां, और वे ML में सबसे अधिक आते। सहप्रसरण आव्यूह, हेसियन, ग्राम आव्यूह: सभी सममित। उनके साथ एक गारंटी पर्याप्त साफ नाम वाली।

स्पेक्ट्रल प्रमेय: हर वास्तविक सममित आव्यूह के वास्तविक आइगेन मान और लांबिक आइगेन सदिश का पूरा समुच्चय। कोई सम्मिश्र संख्या नहीं, कोई दोषपूर्ण मामला नहीं, और आइगेन-दिशाएँ सही समकोण पर। आप हमेशा एक लांबिक आव्यूह से विकर्णीकृत कर सकते।

क्योंकि Q लांबिक, Q⁻¹ = Qᵀ, तो अपघटन एक घूर्णन, एक मापन, और विपरीत घूर्णन से। आइगेन सदिश एक पूर्ण लांबिक-एकक निर्देशांक तंत्र, मुफ़्त में।

ML में इसका स्थानहानि का हेसियन सममित (मिश्रित आंशिक विनिमेय), तो आइगेन मान वास्तविक और प्रत्येक दिशा में वक्रता बताते: सभी धनात्मक ⇒ स्थानीय न्यूनतम (कटोरा), मिश्रित चिह्न ⇒ काठी। सहप्रसरण आव्यूह सममित और धनात्मक अर्ध-निश्चित, जो कारण है PCA का आइगेन-अपघटन हमेशा वास्तविक, लांबिक मुख्य दिशाएँ और अ-ऋणात्मक प्रसरण देता।