विकर्णीकरण

रैखिक मानचित्र, सदिशों और आव्यूहों की ज्यामिति और बीजगणित

विकर्णीकरण एक आव्यूह को उसके अपने सबसे स्वाभाविक निर्देशांक प्रणाली में फिर से लिखता है, वह जो उसके आइगेन सदिशों से बनी। उस प्रणाली में आव्यूह विकर्ण है: यह केवल प्रत्येक आइगेन-अक्ष को उसके आइगेन मान से स्केल करता है। एक उलझा रूपांतरण एक सरल बन जाता है।

यहाँ P के स्तंभ आइगेन सदिश हैं और D आइगेन मानों के साथ विकर्ण है। गुणनफल को दाएँ-से-बाएँ एक तीन-चरणीय नुस्खा के रूप में पढ़ें: P⁻¹ आइगेन-निर्देशांक में घुमाता, D प्रत्येक अक्ष स्केल, और P वापस घुमाता। एक उलझा रूपांतरण, दो दृष्टि-परिवर्तनों के बीच एक शुद्ध खिंचाव के रूप में।

विकर्णीकरण आव्यूह घात को लगभग मुफ़्त बनाता है। क्योंकि बीच के P⁻¹P जोड़े समाप्त होते, Aᵏ = P Dᵏ P⁻¹, और एक विकर्ण आव्यूह को घात तक उठाना बस प्रत्येक विकर्ण प्रविष्टि को उस घात तक उठाता है। कोई बार-बार आव्यूह गुणन आवश्यक नहीं।