Kalkulus multivariabel dari prinsip pertama
Integral tunggal mengukur luas di bawah kurva. Integral ganda mengukur volume di bawah permukaan. Tutupi wilayah bidang dengan ubin kecil, kalikan luas setiap ubin dengan tinggi permukaan di atasnya, jumlahkan, lalu kecilkan ubin. Itu ide Riemann-sum diangkat satu dimensi lagi.
Anda menghitungnya dengan integrasi iterasi: integralkan atas satu variabel, lalu yang lain. Teorema Fubini yang membuat ini praktis, karena untuk fungsi kontinu Anda boleh mengintegralkan dalam urutan apa pun dan dapat jawaban sama.
Bayangkan mengukur curah hujan total yang tertangkap di seluruh lapangan. Hujan turun tidak merata, lebih lebat di dekat satu sudut, lebih ringan di sudut lain, sehingga Anda secara mental memotong bidang menjadi persegi kecil, kalikan luas setiap persegi dengan kedalaman curah hujan lokal di sana, dan jumlahkan setiap petak. Membiarkan petak-petak tersebut menyusut mengubah jumlah tersebut menjadi integral lipat dua dari kedalaman f(x, y) di seluruh lapangan.