Kalkulus multivariabel dari prinsip pertama
Tambah satu dimensi lagi dan Anda punya integral tripel: alih-alih menutupi wilayah 2-D, Anda mengisi benda padat 3-D dengan kotak kecil, memberi bobot masing-masing dengan nilai fungsi di sana, dan menjumlahkan. Mesinnya sama seperti sebelumnya, jumlah Riemann lalu integrasi iterasi, dengan Fubini masih membiarkan Anda memilih urutan.
Atas kotak [a,b]×[c,d]×[e,g] itu tiga integral tunggal bersarang: integralkan atas satu variabel dengan variabel lain tetap, lalu berikutnya, lalu terakhir. Setiap langkah adalah integrasi Kursus-I biasa.
Pikirkan tentang menimbang kue bolu spons yang kepadatannya berbeda-beda dari satu tempat ke tempat lain: lapang di bagian atas, lebih padat dan lebih lembap di bagian tengah. Untuk mendapatkan massa totalnya, Anda akan memotongnya menjadi kubus-kubus mungil, kalikan sedikit volume setiap kubus dengan kepadatan tepat di sana, dan tambahkan setiap remahannya. Menyusutkan kubusnya mengubah jumlah tersebut menjadi integral lipat tiga dari kepadatan f(x, y, z) atas kue tersebut.