Kalkulus multivariabel dari prinsip pertama
Turunan parsial hanya memberi kemiringan sepanjang sumbu koordinat, tetapi kamu bisa berjalan ke arah apa pun. Turunan arah D_u f menjawab: jika aku melangkah sepanjang vektor satuan u, seberapa cepat f berubah? Jawabannya ternyata satu produk dot dengan gradien.
Bayangkan mendaki bukit yang sama, tetapi alih-alih menghadap lurus ke atas, Anda memilih arah kompas, katakanlah timur laut, dan berjalan ke arah sana. Turunan berarah D_u f adalah kemiringan yang sebenarnya Anda rasakan di bawah sepatu bot Anda di sepanjang arah itu. Menuju arah paling curam dan Anda merasakan tanjakan penuh; berbelok ke samping di sepanjang lereng bukit dan tanah terasa datar.
Karena D_u f = ∇f·u = ‖∇f‖‖u‖cos θ = ‖∇f‖cos θ (karena u adalah vektor satuan), laju perubahan paling besar tepat ketika cos θ = 1, yaitu ketika u menunjuk searah dengan ∇f. Putar panah arah di bawah dan lihat pembacaan kemiringan mencapai puncak saat sejajar dengan gradien dan lenyap saat tegak lurus.