Kalkulus multivariabel dari prinsip pertama
Dari dekat, setiap permukaan halus terlihat datar, seperti Bumi terasa datar di bawah kaki Anda. Hampiran linear menggantikan fungsi melengkung dekat suatu titik dengan bidang singgung datar yang baru menyentuhnya di sana. Gradien menyediakan kemiringan bidang itu.
Baca dengan kata-kata: nilai baru ≈ nilai lama, plus gradien didot dengan langkah yang Anda ambil. Hasil kali titik itu adalah turunan arah dikali panjang langkah, tebakan linear terbaik untuk seberapa banyak f bergerak.
Tekan stiker datar kecil pada bola pantai dan, tepat di tempatnya, bola melengkung itu tampak sangat datar. Perkiraan linier adalah stiker itu: bidang singgung datar yang menyentuh permukaan di satu titik dan menggantikan kurva di dekatnya. Berjalan terlalu jauh di atas bola dan stiker itu terkelupas dari permukaan — prediksinya meleset.