Geometri dan aljabar pemetaan linear, vektor, dan matriks
Diagonalisasi menulis ulang matriks dalam sistem koordinat paling alaminya sendiri, yang dibangun dari eigenvector-nya. Dalam sistem itu matriks menjadi diagonal: ia tidak melakukan apa pun selain menskalakan setiap sumbu eigen dengan eigenvalue-nya. Transformasi kusut menjadi transformasi sederhana.
Di sini P memiliki eigenvector sebagai kolom-kolomnya dan D diagonal dengan eigenvalue. Baca produk dari kanan ke kiri sebagai resep tiga langkah: P⁻¹ memutar ke koordinat eigen, D menskalakan setiap sumbu, dan P memutar kembali. Transformasi rumit, dinyatakan sebagai peregangan murni di antara dua perubahan sudut pandang.
Diagonalisasi membuat pangkat matriks hampir gratis. Karena pasangan tengah P⁻¹P saling menghapus, Aᵏ = P Dᵏ P⁻¹, dan menaikkan matriks diagonal ke pangkat hanya menaikkan setiap entri diagonal ke pangkat itu. Tidak perlu perkalian matriks berulang.