Calcolo a una variabile dai primi principi
Informalmente, una funzione è continua se puoi disegnarla senza staccare la penna dal foglio: niente buchi, niente salti, niente esplosioni improvvise. La versione precisa mette a fuoco questa idea grazie al limite che hai appena imparato: in ogni punto, il luogo verso cui la funzione sta tendendo deve coincidere con il punto in cui si trova davvero.
Tre condizioni devono allinearsi: f(a) esiste, il limite esiste e i due coincidono. Se anche una sola delle tre viene a mancare, hai una discontinuità, e ne esistono esattamente tre tipi.
Una discontinuità rimovibile è un singolo punto mancante, un buco, dove il limite esiste ma la funzione ha saltato quel valore (come il buco di (x²−4)/(x−2)). Una discontinuità a salto si ha quando i limiti da sinistra e da destra non concordano, così il grafico balza da un livello all'altro. Una discontinuità infinita è un asintoto verticale, dove la funzione schizza a ±∞ (come 1/x in 0).