Calcolo a una variabile dai primi principi
La convessità è la forma che rende facile l'ottimizzazione. Una funzione convessa si apre verso l'alto ovunque, come una ciotola, e questa singola proprietà la rende facile da minimizzare: esiste esattamente un punto più basso, e qualsiasi percorso in discesa conduce dritto a esso.
Ci sono tre modi equivalenti di vedere la convessità. Primo, la seconda derivata è non negativa ovunque: f″(x) ≥ 0. Secondo, la curva si apre verso l'alto e non si piega mai verso il basso. Terzo, l'immagine che la definisce, la corda che congiunge due punti qualsiasi sta sopra la curva.
Immagina una valle dolce, o l'interno di una ciotola, e lascia cadere una biglia in un punto qualsiasi lungo di essa. Non importa da dove inizi, la biglia rotola sempre giù fino al singolo punto più basso e si ferma lì. Questo è esattamente ciò che ti offre la convessità: una valle, nessun falso fondo, in modo che qualsiasi percorso in discesa porti all'unico vero minimo.