Calcolo a una variabile dai primi principi
Una volta trovato un punto critico (dove f′ = 0), c'è un modo rapido per capire se è un picco o una valle, più rapido che controllare i segni ai due lati. Basta osservare la concavità in quel punto, usando la seconda derivata.
La logica è semplice. In un punto piatto, se la curva si apre verso l'alto (concava verso l'alto), devi trovarti sul fondo di una ciotola, cioè in un minimo. Se si richiude verso il basso (concava verso il basso), sei in cima a una cupola, cioè in un massimo.
Immagina di posare una biglia su un punto piatto di una superficie curva, per poi versarci un po' d'acqua. Una ciotola trattiene l'acqua e culla la biglia sul fondo, questo è un minimo, curvo verso l'alto. Una cupola fa scorrere l'acqua e lascia rotolare la biglia giù dalla cima, questo è un massimo, che copre verso il basso. La derivata seconda ti dice semplicemente su quale forma ti trovi.