Calcolo a una variabile dai primi principi
L'integrale risponde alla domanda complementare alla derivata: non "quanto velocemente cambia questo?" ma "quanto si è accumulato?" Geometricamente, l'integrale definito è l'area intrappolata tra una curva e l'asse x.
Immagina di tracciare il contorno di uno stagno su carta millimetrata e volerne l'area. Non puoi moltiplicare una larghezza per un'altezza, perché la riva curva. Quindi conti i quadratini che rientrano nel contorno: più quadratini, più fitta la griglia, più il tuo conteggio si avvicina all'area reale. Una somma di Riemann è esattamente quel conteggio, e l'integrale è il numero su cui si stabilizza man mano che i quadrati si restringono fino a sparire.
Per un rettangolo l'area è semplicemente base × altezza. Una curva, però, ha una cima ondulata: non c'è un'unica altezza per cui moltiplicare. L'idea di Bernhard Riemann è questa: affettare la regione in rettangoli verticali sottili, ciascuno abbastanza stretto da rendere la curva quasi piatta al suo interno, sommare le loro aree e poi usare fette sempre più sottili.