Calcolo a una variabile dai primi principi
Questo è il teorema che lega insieme l'intero corso. Derivate e integrali, pendenze e aree, sembrano due mondi separati. Il Teorema Fondamentale del Calcolo (TFC) mostra che sono esatti inversi l'uno dell'altro. Derivare annulla integrare, e viceversa.
Definisci una funzione area A(x) = ∫ₐˣ f(t) dt, cioè l'area accumulata sotto f da un punto di partenza fisso fino a x. La Parte 1 afferma che la velocità con cui quell'area cresce è esattamente l'altezza della curva sul bordo destro:
Intuitivamente: quando sposti il bordo destro di un piccolo tratto, la nuova striscia di area che aggiungi è (altezza)×(piccola larghezza) = f(x)·dx. Quindi l'area si accumula con velocità f(x). La figura mostra l'area che si riempie e la sua velocità di crescita che segue l'altezza della curva.