Calcolo multivariabile dai primi principi
Rendi la Jacobiana quadrata (n input, n output) e il suo determinante assume un compito geometrico concreto. Dall'Algebra Lineare, il determinante di una matrice è il fattore con cui scala il volume. Il determinante della Jacobiana ti dice quanto una mappa dilata o restringe una piccola porzione di spazio mentre la attraversa.
Se |det J| > 1, un piccolo box di spazio di input esce più grande, quindi la mappa espande. Se |det J| , esce più piccolo, quindi la mappa contrae. Se det J = 0, il box viene schiacciato piatto: la mappa collassa una dimensione ed è localmente non invertibile.
Disegna un quadratino su un foglio di gomma elastica, poi tira il foglio per distorcere la griglia. Il determinante Jacobiano è l'unico numero che ti dice di quanto è cresciuta o si è ridotta l'area di quel quadratino nell'allungamento. Tira la gomma in entrambe le direzioni e il quadrato si gonfia; schiaccialo su una singola piega e la sua area crolla a zero.