Calcolo multivariabile dai primi principi
Quando l'output è un vettore anch'esso, una funzione f: Rⁿ → Rᵐ, un gradiente non basta. Serve la parziale di ogni output rispetto a ogni input. Impilale tutte in una matrice e ottieni la Jacobiana J, la piena derivata prima di una mappa a valori vettoriali.
La riga i di J è semplicemente il gradiente dell'i-esimo output. Quindi la Jacobiana è una pila di gradienti, uno per coordinata di output. La sua forma è m × n: tante righe quanti output, tante colonne quanti input.
Pensa al mixer di un ingegnere del suono, dove ogni canale di uscita risponde a ogni manopola di ingresso. Lo Jacobiano è quella tabella di sensibilità messa per iscritto: ogni voce dice di quanto si sposta un'uscita quando tocchi una manopola di ingresso. Leggi lungo una riga per vedere tutto ciò che guida una singola uscita; leggi lungo una colonna per vedere tutto ciò che controlla una singola manopola.