Calcolo multivariabile dai primi principi
L'approssimazione lineare (Lezione 9) usava solo il gradiente e dava un piano tangente piatto. Aggiungi il termine successivo, quello costruito dalla Hessiana, e ottieni un'approssimazione quadratica: un paraboloide che aderisce alla superficie, catturando la sua curvatura, non solo la sua inclinazione.
Leggi i tre pezzi: f(x) è l'altezza, ∇fᵀδ è la correzione lineare (pendenza), e ½δᵀHδ è la correzione quadratica (curvatura). Quell'ultimo termine è una forma quadratica nel passo, esattamente l'oggetto il cui segno è controllato dagli autovalori della Hessiana.
Un piano tangente piatto appoggiato su una superficie curva è come posizionare un vetrino rigido sul tuo occhio: tocca in un punto ma lascia spazi vuoti dappertutto. Una lente a contatto fa un lavoro migliore perché è curva per abbinarsi alla superficie dell'occhio, corrispondendo non solo a dove si trova l'occhio ma anche a come si piega. Il termine dell'Hessiana ½δᵀHδ è quella curvatura incorporata: permette all'approssimazione di abbracciare la superficie invece di limitarsi ad appoggiarvisi.