Calcolo multivariabile dai primi principi
Un integrale singolo misurava l'area sotto una curva. L'integrale doppio misura il volume sotto una superficie. Copri una regione del piano con piccole piastrelle, moltiplica l'area di ciascuna per l'altezza della superficie sopra di essa, sommale, poi rimpicciolisci le piastrelle. È l'idea della somma di Riemann innalzata di una dimensione.
Lo calcoli per integrazione iterata: integri su una variabile, poi sull'altra. Il teorema di Fubini è ciò che lo rende pratico, poiché per funzioni continue puoi integrare in qualsiasi ordine e ottenere lo stesso risultato.
Immagina di misurare la pioggia totale catturata su un intero campo. La pioggia cade in modo irregolare, più forte vicino a un angolo, più leggera in un altro, quindi tagli mentalmente il campo in piccoli quadrati, moltiplichi l'area di ogni quadrato per l'altezza locale della pioggia in quel punto, e sommi ogni pezzo. Facendo rimpicciolire i pezzi, quella somma si trasforma nell'integrale doppio dell'altezza f(x, y) sul campo.