Calcolo multivariabile dai primi principi
Un'idea porta gran parte del calcolo multivariabile: per derivare una funzione di molte variabili, cambia una sola variabile alla volta e congela tutte le altre. Tieni y fermo, muovi x, e chiedi come risponde f. Quel tasso di cambiamento è la derivata parziale ∂f/∂x.
La ∂ ricciuta ("parziale") è l'unica nuova notazione. Tutto il resto è derivazione del Corso I (regola della potenza, regola del prodotto, regola della catena) applicata come se le variabili congelate fossero solo costanti.
Stai in piedi su una collina e la pendenza che senti dipende dalla direzione in cui guardi. Cammina dritto verso est, mantenendo fissa la tua posizione nord-sud, e la ripidità sotto i piedi è la derivata parziale ∂f/∂x. Girati e cammina invece verso nord, mantenendo fissa la posizione est-ovest, e sentirai una pendenza diversa, ∂f/∂y. Ogni parziale congela una direzione e riporta la salita o la discesa lungo l'altra.