Calcolo multivariabile dai primi principi
Su una retta potevi avvicinarti a un punto solo da due lati, sinistra e destra. Nel piano e oltre, puoi avvicinarti a un punto da infinite direzioni, lungo qualsiasi percorso tu voglia. Questa libertà in più rende i limiti in Rⁿ genuinamente più difficili, e questa lezione è più un avvertimento che una ricetta.
Una funzione f ha limite L in un punto p solo se si dirige verso lo stesso L non importa quale percorso tu prenda. Se due percorsi diversi danno due risposte diverse, il limite semplicemente non esiste.
Accetti di incontrare un amico a una fontana al centro di una piazza. Puoi camminare verso di essa dall'ingresso nord, dal vicolo est, o da qualsiasi diagonale tortuosa attraverso la piazza, ma devi finire alla stessa fontana. Un limite in Rⁿ richiede esattamente questo: la funzione deve dirigersi verso un unico valore indipendentemente dal percorso intrapreso. Se due approcci non concordano su dove atterrano, non c'è un punto di incontro, e il limite non esiste.