Calcolo multivariabile dai primi principi
Le derivate parziali ti dicono solo la pendenza lungo gli assi coordinati, ma puoi camminare in qualsiasi direzione. La derivata direzionale D_u f risponde: se faccio un passo lungo il vettore unitario u, quanto velocemente cambia f? La risposta risulta essere un singolo prodotto scalare con il gradiente.
Immagina di fare un'escursione su quella stessa collina, ma invece di guardare dritto verso l'alto scegli una direzione sulla bussola, ad esempio nord-est, e cammini in quel verso. La derivata direzionale D_u f è la pendenza che senti effettivamente sotto gli scarponi lungo quella rotta. Dirigiti verso la direzione più ripida e sentirai tutta la salita; girati lateralmente lungo il fianco della collina e il terreno sembrerà piatto.
Poiché D_u f = ∇f·u = ‖∇f‖‖u‖cos θ = ‖∇f‖cos θ (perché u è un vettore unitario), il tasso di cambiamento è massimo esattamente quando cos θ = 1, cioè quando u punta lungo ∇f. Ruota la freccia di direzione sotto e guarda la pendenza raggiungere il picco quando si allinea con il gradiente e azzerarsi quando è perpendicolare.