Calcolo multivariabile dai primi principi
Da vicino, ogni superficie liscia appare piatta, come la Terra sembra piatta sotto i tuoi piedi. L'approssimazione lineare sostituisce la funzione curva vicino a un punto con il piano tangente piatto che la tocca lì. Il gradiente fornisce l'inclinazione di quel piano.
Leggila a parole: il nuovo valore ≈ il vecchio valore, più il gradiente moltiplicato scalarmente per il passo fatto. Quel prodotto scalare è la derivata direzionale per la lunghezza del passo, la migliore stima lineare di quanto f si è mossa.
Premi un piccolo adesivo piatto su un pallone da spiaggia e, proprio dove si trova, il pallone curvo sembra perfettamente piatto. L'approssimazione lineare è quell'adesivo: un piano tangente piatto che bacia la superficie in un punto e sostituisce la curva nelle vicinanze. Se ti allontani troppo lungo il pallone, l'adesivo si stacca dalla superficie — la previsione va alla deriva.