Geometria e algebra di applicazioni lineari, vettori e matrici
L'inversa A⁻¹ è la trasformazione che annulla A. Applica A poi A⁻¹ e ogni vettore torna a casa: A⁻¹A = AA⁻¹ = I. Se A ruota di 30°, la sua inversa ruota indietro di 30°; se A raddoppia le lunghezze, la sua inversa le dimezza.
Non ogni matrice può essere annullata. Un'inversa esiste solo quando A è a rango pieno, equivalentemente quando il suo determinante è non nullo. Il motivo è geometrico: se A appiattisce lo spazio (collassando una direzione a zero, come fa una matrice a rango basso), l'informazione è distrutta e non c'è modo di ricostruirla. Tale matrice è singolare.
Per una matrice 2×2 c'è una forma chiusa memorabile. Scambia la diagonale, nega la fuori-diagonale, dividi per il determinante: