Geometria e algebra di applicazioni lineari, vettori e matrici
La decomposizione ai valori singolari fa qualcosa che nessun'altra fattorizzazione riesce: ogni matrice, quadrata o rettangolare, a rango pieno o no, si scompone in tre pezzi geometrici puliti.
Leggendo da destra a sinistra, ogni applicazione lineare è lo stesso movimento in tre passi: Vᵀ ruota l'input per allinearlo agli assi giusti, Σ (diagonale, con i valori singolari non negativi σ₁ ≥ σ₂ ≥ …) scala ciascun asse, e U ruota il risultato nello spazio di output. Un cerchio di input mappa sempre a un'ellisse, e i valori singolari sono le lunghezze degli assi di quell'ellisse.
Nella figura, guarda il cerchio unitario diventare un'ellisse i cui semi-assi sono esattamente i valori singolari.