Geometria e algebra di applicazioni lineari, vettori e matrici
Il prodotto scalare prende due vettori e restituisce un singolo numero. La ricetta è semplice: moltiplica le componenti corrispondenti e somma i risultati. Dietro questa semplice aritmetica si nasconde un significato geometrico: il prodotto scalare misura quanto due frecce puntano nella stessa direzione.
La forma di destra è quella su cui conviene fare affidamento. |a| e |b| sono le lunghezze, e θ è l'angolo tra le frecce. Così il segno del prodotto scalare rivela immediatamente la geometria: positivo significa che le frecce si inclinano nello stesso verso (θ < 90°), negativo significa che si oppongono (θ > 90°), ed esattamente zero significa che sono perpendicolari. Quest'ultimo caso ricorre di continuo.
Immagina di spingere un carrello della spesa mentre soffia il vento. Il prodotto scalare della tua spinta e del vento ti dice quanto sono allineate le due frecce: è grande e positivo (positive) quando il vento ti aiuta ad andare avanti, zero quando il vento soffia dritto perpendicolarmente al tuo percorso non facendo alcun lavoro, e negativo quando ti spinge contro. Letto come un punteggio di similarità, un prodotto scalare più grande significa semplicemente "queste due frecce concordano di più".