Geometria e algebra di applicazioni lineari, vettori e matrici
Così come un vettore ha una lunghezza, una matrice ha una "dimensione". Due misure dominano e rispondono a domande diverse: quanto sono grandi le voci, oppure quanto può la matrice allungare un vettore?
La norma di Frobenius tratta la matrice come una lunga lista di numeri e ne prende la lunghezza euclidea: eleva al quadrato ogni voce, somma, poi fai la radice. La norma spettrale misura invece l'allungamento massimo, cioè il fattore più grande con cui A può allungare un qualsiasi vettore unitario; questo risulta essere il valore singolare massimo.
Pensa a una matrice come a un amplificatore (amplifier) per chitarra: inserisci un segnale ed esce più forte. La norma spettrale è il massimo guadagno (gain) dell'amplificatore, il fattore più grande con cui può aumentare qualsiasi input che gli invii. Gira la manopola sull'impostazione più alta e il segnale unitario più forte che può uscire è esattamente quella norma.