Geometria e algebra di applicazioni lineari, vettori e matrici
Prendi alcuni vettori e concediti due mosse: scalare ciascuno di essi (moltiplicarlo per un numero qualsiasi) e sommare i risultati. Qualunque vettore tu riesca a costruire in questo modo è una combinazione lineare dell'insieme di partenza. L'insieme completo di tutto ciò che è raggiungibile si chiama spazio generato.
Lo spazio generato è l'idea centrale di questa lezione, perciò conviene immaginarlo in modo concreto. Un singolo vettore non nullo, scalato in tutti i modi possibili, descrive una retta passante per l'origine. Due vettori che puntano in direzioni genuinamente diverse descrivono un intero piano. Aggiungine un terzo che esca da quel piano e riempi tutto lo spazio tridimensionale.
Riempi il tuo frullatore con due ingredienti base — diciamo una freccia banana e una freccia bacca. Un frullato è qualsiasi miscela in cui scali ogni base (più o meno di essa) e le versi insieme; questa è una combinazione lineare. Il menu completo di ogni frullato che potresti possibilmente frullare da quelle basi è il loro span — e se entrambe le basi tirano in direzioni genuinamente diverse, quel menu riempie l'intero piano dei sapori.