Geometria e algebra di applicazioni lineari, vettori e matrici
Una matrice è molto più di una griglia di numeri. È una funzione che trasforma lo spazio: le dai in input un vettore x e ti restituisce un nuovo vettore Ax. Sull'intero piano agisce come un unico movimento coerente (una rotazione, una dilatazione, una riflessione, una distorsione di taglio, una proiezione) applicato simultaneamente a ogni punto.
Ciò che la rende lineare è il fatto che rispetta le due operazioni sui vettori: A(x + y) = Ax + Ay e A(cx) = c·Ax. Le rette restano rette, l'origine resta ferma, e le griglie a spaziatura uniforme si trasformano in griglie a spaziatura uniforme (eventualmente inclinate).
Ecco come leggere una matrice a colpo d'occhio: le sue colonne indicano dove vanno a finire i vettori di base. La prima colonna è l'immagine di [1, 0]; la seconda colonna è l'immagine di [0, 1]. Una volta che sai dove finiscono i due assi, l'intera trasformazione è determinata, perché ogni altro vettore è una combinazione di essi.