La matematica dell'incertezza
Finora ciascuna variabile aleatoria viveva da sola. Ma le domande interessanti riguardano relazioni: altezza e peso, un'immagine e la sua etichetta. Una distribuzione congiunta p(x, y) dà la probabilità di ogni coppia di valori contemporaneamente. È la descrizione completa di come due (o più) variabili si comportano insieme.
Per variabili discrete, immagina una griglia: le righe sono i valori di X, le colonne i valori di Y, e ciascuna cella contiene la probabilità di quella combinazione. Tutte le celle sono non negative e sommano a 1: di nuovo gli assiomi, ora in due dimensioni. Per variabili continue si ha una densità f(x, y) e le probabilità sono volumi sotto una superficie 2-D.
Immagina una tabella a doppia entrata di persone classificate per altezza e peso contemporaneamente: basse-e-leggere in una cella, alte-e-pesanti in un'altra, e un numero in ogni cella che dice quanto è comune quell'accoppiamento. Quell'intera griglia di accoppiamenti è la distribuzione congiunta p(x, y) — descrive altezza e peso insieme, non uno alla volta. Riempi ogni cella, rendili non negativi e con somma a 1, e avrai catturato il quadro completo di come i due tratti viaggiano insieme.