La matematica dell'incertezza
I dati reali sono raramente un singolo numero. Sono un vettore. La Gaussiana multivariata N(μ, Σ) estende la curva a campana a molte dimensioni. La media diventa un vettore μ ∈ ℝⁿ (il centro della nuvola) e la varianza diventa una matrice di covarianza Σ (la forma e l'inclinazione della nuvola).
L'esponente generalizza lo z-score: (x−μ)ᵀΣ⁻¹(x−μ) è la distanza di Mahalanobis quadrata, distanza dalla media misurata in unità della dispersione stessa dei dati. I punti di uguale densità formano ellissi (ellissoidi in dimensioni superiori); la matrice di covarianza ne fissa dimensione, stiramento e inclinazione.
La diagonale di Σ contiene le varianze per coordinata; le extradiagonali contengono le covarianze, dicendoti se le coordinate crescono insieme. Una Σ diagonale dà ellissi allineate agli assi (coordinate indipendenti); i termini extradiagonali le inclinano. Σ deve essere semidefinita positiva, poiché non esiste una varianza negativa in nessuna direzione.