第一原理からの1変数微分積分
前回の2レッスンで数のリストを足し、累計がどこに向かうかを問いました。ここで1つの大胆な飛躍をします：足すものが無限に多く、無限に薄い断片だったら？この1つの操作 — 小さな断片を足し、極限を取る — が積分の全アイデアです。
絵を描きましょう。曲線の下の面積が欲しいが、上部が波打っているので掛ける単一の高さがありません。そこで慎重にズルをします：細い垂直な長方形で領域を覆い、それぞれが曲線の上でほぼ平らになるほど細くします。面積を足します。正確な答えは出ません — 長方形の上部が曲線からはみ出たり足りなかったりします — でも近づきます。それから長方形をさらに薄くします。
奇妙な形の領域の面積を求めるには、曲線の横にコインを並べて積み重ねるように、細長い垂直の短冊で領域を埋めることを想像してください。各短冊は非常に細いため、上部はほぼ平らになり、単純な長方形として扱って面積を足し合わせることができます。短冊を薄くスライスするほど — Δx を小さくするほど — 積み重ねは領域をよりぴったりと埋め、得られる面積は正確な答えに近づきます。