第一原理からの1変数微分積分
数列を取り、項を順に足していく。1項のあとa₁。2項のあとa₁ + a₂。3項のあとa₁ + a₂ + a₃。これらの累計は部分和と呼ばれ、Sₙと書きます — 最初のn項の和です。
部分和自身が新しい数列(S₁, S₂, S₃, …)をなし、前回と同じ問いができます：この累計は極限に落ち着くか？落ち着くなら、その極限を級数の和と呼びます。
継ぎ足し続けるチップの瓶を想像してください。これまでの合計はそれぞれ部分和であり、最新の寄付後の瓶の中のお金です。もし毎回の寄付が前の半分の額であれば — ドルの 1/2 + 1/4 + 1/8 + … を追加するように — 瓶は最初すぐに満たされますが、その後はほとんど増えず、天井に張り付きます。決して超えることのないその天井が級数の和であり、ここではちょうど 1 ドルです。