第一原理からの多変数微分積分
関数f: Rⁿ → Rはベクトルを入力として受け取り単一の数を返します。機械学習を駆動する例は損失です：ネットワークのすべての重みを入力し、どれだけひどくやっているかを示す1つの数を得る。訓練の全体がこの関数の最低点を探す旅です。
2つの入力なら実際に想像できます：z = f(x, y)は曲面で、xy平面の上に浮かぶ丘と谷の地形です。各(x, y)での高さが関数の値です。
部屋の中の空気を想像してみてください。どこに立っても、温度計は正確に1つの温度を示します。これは、偽装された関数 f: R² → R です。位置 (x, y) を入力すると、1つの数値（そこの暖かさ）が出力されます。部屋全体が暖かかったり冷たかったりする風景になり、ラジエーターの近くでは高く、窓のそばでは低くなります。