第一原理からの多変数微分積分
これまでは出力が単一の数でした。ベクトルにも成長させてみよう。関数f: Rⁿ → Rᵐはベクトルを入力として受け取りベクトルを返す：多数の数が入り、多数の数が出る。それがニューラルネットワークの層の正確な形で、入力ベクトルが入り、変換されたベクトルが出る。
任意のベクトル値関数を理解する方法は、出力座標を1つずつ読むことです。各出力成分はそれ自体が通常のスカラー関数Rⁿ → Rで、成分関数と呼ばれる。m個を積み重ねて全体の写像になる。
ミキシングデスクは、少数の入力ダイヤルを一度に複数の出力の読み取り値に変えます。スライダーを動かすと、すべてのメーターが一緒に反応します。これは関数 f: Rⁿ → Rᵐ です。入力のベクトルが入り、出力のベクトルが出てきます。それを理解するには、各出力座標 f₁、f₂ などが、同じ入力ダイヤルから作られた独自の通常のレシピであるため、メーターを1つずつ読み取ります。