第一原理からの多変数微分積分
1重積分は曲線の下の面積を測った。2重積分は曲面の下の体積を測る。平面の領域を小さなタイルで覆い、各タイルの面積にその上の曲面の高さを掛け、足し合わせ、タイルを縮める。リーマン和のアイデアをもう1次元持ち上げたものです。
反復積分で計算する：1つの変数で積分し、次にもう1つ。フビニの定理がこれを実用的にする、連続関数ではどちらの順序でも積分でき同じ答えが得られるから。
野原全体で受け止めた総降雨量を測定することを想像してみてください。雨は不均等に降り、ある角の近くでは激しく、別の角では弱いため、頭の中で野原を小さな正方形に切り分け、各正方形の面積にそこでの局所的な降雨の深さを掛け、すべてのパッチを合計します。パッチを縮小させていくと、その合計は野原上の深さ f(x, y) の二重積分になります。