第一原理からの多変数微分積分
もう1次元加えると3重積分になる：2次元領域をタイル化する代わりに、3次元の立体を小さな箱で埋め、それぞれに関数の値を掛けて足す。機構は以前と同じ、リーマン和に続いて反復積分で、フビニが順序の選択を許す。
箱[a,b]×[c,d]×[e,g]上では3つのネストした1重積分：1つの変数で他を固定して積分し、次、最後。各ステップは通常のコースIの積分です。
場所によって密度が異なるスポンジケーキの重さを量ることを考えてみてください。上の方は空気を含んで軽く、中央に向かって密度が高くしっとりしています。その総質量を求めるには、ケーキを小さな立方体に切り刻み、各立方体の小さな体積にその場所の密度を掛け、すべてのかけらを合計します。立方体を縮小させていくと、その合計はケーキ上の密度 f(x, y, z) の三重積分になります。