対角化

線形写像、ベクトル、行列の幾何学と代数

対角化は行列を自身の最も自然な座標系、固有ベクトルから構築された系で書き直す。その系で行列は対角です：各固有軸を固有値でスケールするだけ。もつれた変換が単純なものになる。

ここでPは列として固有ベクトルを持ち、Dは固有値の対角行列。積を右から左に3ステップのレシピとして読む：P⁻¹が固有座標に回転し、Dが各軸をスケールし、Pが回転し戻す。もつれた変換が、2つの視点変更の間の純粋な伸縮として表現される。

対角化は行列の累乗をほぼ無料にする。中央のP⁻¹Pのペアが消えるので、Aᵏ = P Dᵏ P⁻¹で、対角行列を累乗するには各対角要素をその乗で累乗するだけ。繰り返し行列乗算は不要。