二次形式

線形写像、ベクトル、行列の幾何学と代数

二次形式xᵀAxはベクトルを取りxに2次的に変化する単一の数を返す、ax²の行列版です。xがすべての方向にわたるとき、この数は曲面を描き、行列A（対称とする）がその曲面の形を決める。

その固有値は固有軸に沿った曲率で、それらの符号が曲面を完全に分類する。すべて正：上に開くボウル（正定値）できれいな最小。すべて負：ドーム（負定値）で最大。混合符号：サドル（不定）、ある方向で上、別の方向で下。

図で固有値の符号を切り替えて曲面がボウル、ドーム、サドルの間に変形する様子を見てください。