제1원리에서 출발하는 일변수 미적분
이것은 이 강좌 전체를 하나로 묶어 주는 정리입니다. 도함수와 적분, 기울기와 넓이는 마치 서로 다른 두 세계처럼 보입니다. 미적분학의 기본 정리(FTC)는 이 둘이 서로의 정확한 역연산임을 보여 줍니다. 미분은 적분을 되돌리고, 그 반대도 마찬가지입니다.
넓이 함수 A(x) = ∫ₐˣ f(t) dt를 정의해 봅시다. 이는 고정된 시작점에서 x까지 f 아래에 누적된 넓이입니다. 제1부는 이렇게 말합니다. 그 넓이가 자라나는 속도는 정확히 오른쪽 끝에서의 곡선 높이와 같다는 것입니다.
직관적으로 보면, 오른쪽 끝을 아주 조금 밀어낼 때 새로 더해지는 넓이 조각은 (높이)×(아주 작은 너비) = f(x)·dx입니다. 따라서 넓이는 f(x)의 속도로 쌓입니다. 그림은 넓이가 채워지고 그 증가율이 곡선의 높이를 따라가는 모습을 보여 줍니다.