제1원리에서 출발하는 일변수 미적분
지난 두 레슨에서는 목록에 있는 숫자들을 더하면서 누적 합이 어디로 향하는지 물었습니다. 이제 한 가지 대담한 도약을 해 봅시다: 우리가 더하는 것이 무한히 많고 무한히 얇은 조각들이라면 어떨까요? 작은 조각을 합한 다음 극한을 취하는 이 한 번의 움직임이 바로 적분의 전체 아이디어입니다.
이런 그림을 떠올려 보세요. 곡선 아래의 면적을 구하고 싶은데, 윗부분이 물결치듯 굽어 있어서 너비에 곱할 단 하나의 높이가 없습니다. 그래서 조심스럽게 한 가지 꼼수를 씁니다. 영역을 얇은 수직 직사각형들로 덮되, 각 직사각형이 너무 좁아서 그 위의 곡선이 거의 평평해 보이도록 만드는 것입니다. 그러고 나서 직사각형들의 면적을 더합니다. 정확한 답은 아닙니다 — 직사각형의 윗변이 곡선 위로 튀어나오거나 아래로 빠지니까요 — 하지만 꽤 가까워집니다. 그다음에는 직사각형을 더 얇게 만들면 됩니다.
이상한 모양의 영역의 넓이를 구하기 위해, 곡선 아래 나란히 동전을 쌓아 올린 것처럼 그 안을 수많은 얇은 수직 띠로 채운다고 상상해 보세요. 각 띠는 너무 좁아서 윗부분이 거의 평평하므로, 간단한 직사각형으로 취급하여 넓이를 더할 수 있습니다. 띠를 더 얇게 썰수록 — Δx 를 더 작게 만들수록 — 쌓인 띠가 영역을 더 꼭 맞게 채우고, 당신이 얻는 넓이는 정확한 정답에 가까워집니다.