제1원리에서 출발하는 일변수 미적분
수열 하나를 가져와서 항을 차례로 더해 나가 보세요. 한 항을 더하면 a₁이 됩니다. 두 항을 더하면 a₁ + a₂가 되고, 세 항을 더하면 a₁ + a₂ + a₃가 됩니다. 이렇게 누적된 합을 부분합이라고 하며 Sₙ로 씁니다. 처음 n개 항을 더한 값이라는 뜻입니다.
이 부분합들 자체가 새로운 수열(S₁, S₂, S₃, …)을 이루므로, 지난 레슨과 똑같은 질문을 던질 수 있습니다: 이 누적 합이 어떤 극한에 자리 잡는가? 만약 그렇다면 그 극한을 급수의 합이라고 부릅니다.
계속해서 채워 넣는 팁 통을 상상해 보세요: 각각의 누적 합계는 부분합으로, 가장 최근의 기부 후에 통에 있는 돈입니다. 만약 모든 기부액이 이전 기부액의 절반 크기라면 — 달러의 1/2 + 1/4 + 1/8 + … 을 더하는 것처럼 — 통은 처음에는 빨리 채워지다가 나중에는 거의 오르지 않으며 한계치에 바짝 다가섭니다. 결코 완전히 넘어서지 못하는 그 한계치가 급수의 합이며, 여기서는 정확히 1 달러입니다.