제1원리에서 출발하는 다변수 미적분
단일 적분은 곡선 아래의 면적을 측정했습니다. 이중 적분은 표면 아래의 부피를 측정합니다. 평면의 한 영역을 작은 타일들로 덮고, 각 타일의 면적에 그 위 표면의 높이를 곱한 뒤 모두 더하고, 타일을 점점 작게 줄여 나갑니다. 리만 합의 아이디어를 한 차원 더 끌어올린 것입니다.
계산은 반복 적분으로 합니다. 한 변수로 적분한 다음 다른 변수로 적분하는 것입니다. 푸비니 정리가 이를 실용적으로 만들어 주는데, 연속 함수에 대해서는 어느 순서로 적분하든 같은 답이 나오기 때문입니다.
전체 들판에 잡힌 총 강우량을 측정한다고 상상해 보십시오. 비는 고르지 않게 내려서 한쪽 구석에서는 더 많이, 다른 쪽에서는 더 적게 내리므로, 머릿속으로 들판을 작은 정사각형들로 자르고 각 정사각형의 넓이에 그곳의 국지적 강우 깊이를 곱한 다음 모든 구역을 합산합니다. 이 구역들을 점점 줄이면 그 합은 들판에 대한 깊이 f(x, y)의 이중 적분이 됩니다.