제1원리에서 출발하는 다변수 미적분
차원을 하나 더 더하면 삼중 적분이 됩니다. 2차원 영역을 타일로 나누는 대신, 3차원 입체를 작은 상자들로 채우고 각 상자를 그 자리의 함수 값으로 가중한 뒤 합산합니다. 작동 방식은 이전과 같습니다. 리만 합에 이어 반복 적분을 하며, 푸비니 정리가 여전히 적분 순서를 자유롭게 고를 수 있게 해 줍니다.
상자 [a,b]×[c,d]×[e,g] 위에서는 세 개의 중첩된 단일 적분이 됩니다. 나머지를 고정한 채 한 변수로 적분하고, 그다음 변수, 마지막 변수로 차례로 적분합니다. 각 단계는 모두 코스 I에서 다룬 평범한 적분입니다.
위쪽은 공기가 많아 가볍고 가운데로 갈수록 더 조밀하고 촉촉하여 부위에 따라 밀도가 다른 스펀지 케이크의 무게를 잰다고 생각해 보세요. 그것의 총 질량을 구하려면 아주 작은 큐브 모양으로 깍둑썰기하고, 각 큐브의 작은 부피에 바로 그곳의 밀도를 곱한 뒤, 모든 조각을 더해야 합니다. 큐브들을 점점 줄이면 그 합은 케이크에 대한 밀도 f(x, y, z)의 삼중 적분이 됩니다.