선형 사상, 벡터, 행렬의 기하학과 대수
행렬이 실제로 하는 일은 세 가지 양으로 포착됩니다. 열 공간은 Ax가 도달할 수 있는 모든 점, 즉 열들이 생성하는 공간이자 행렬의 «출력 영역»입니다. 랭크는 그 열 공간의 차원으로, A가 만들어 내는 진정으로 독립인 방향의 개수를 뜻합니다. 그리고 영공간은 A가 0으로 으깨 버리는 모든 벡터, 곧 Ax = 0을 만족하는 모든 x로 이루어집니다.
랜드마크를 사용하여 길을 안내한다고 상상해 보세요. "탑 쪽으로 가라"고 하고 "바로 옆에 있는 쌍둥이 탑 쪽으로 가라"고 한다면, 사실상 단 하나의 진짜 방향만 제시한 것입니다 — 두 번째는 새로운 것을 추가하지 않습니다. 랭크(rank) 는 행렬의 방향 중 이처럼 진정으로 독립적인 방향이 몇 개인지를 세는 것입니다; 전혀 움직임이 없는 상태로 붕괴되는 방향은 영공간(null space) 에 속합니다.
차원들은 깔끔한 균형을 이룹니다. 이것이 랭크–널리티 정리입니다. 입력 차원은 살아남는 방향(랭크)과 으깨지는 방향(널리티)으로 나뉩니다.