선형 사상, 벡터, 행렬의 기하학과 대수
대각화는 행렬을 그 자신에게 가장 자연스러운 좌표계, 곧 고유벡터로 짜인 좌표계로 다시 표현하는 것입니다. 그 좌표계에서 행렬은 대각이 됩니다. 각 고유축을 해당 고윳값만큼 스케일하는 일밖에 하지 않습니다. 그렇게 얽혀 있던 변환이 단순해집니다.
여기서 P는 열에 고유벡터를 담고, D는 대각선에 고윳값을 담습니다. 이 곱을 오른쪽에서 왼쪽으로 읽으면 세 단계 레시피가 됩니다. P⁻¹가 고유 좌표계로 회전시키고, D가 각 축을 스케일하며, P가 다시 원래대로 회전시킵니다. 복잡한 변환이 두 번의 관점 전환 사이에 놓인 순수한 늘림으로 표현되는 셈입니다.
대각화 덕분에 행렬 거듭제곱이 거의 공짜가 됩니다. 가운데의 P⁻¹P 쌍이 상쇄되므로 Aᵏ = P Dᵏ P⁻¹이 되는데, 대각 행렬을 거듭제곱하는 것은 각 대각 항목을 그 거듭제곱으로 올리기만 하면 됩니다. 행렬 곱셈을 반복할 필요가 없습니다.