Eénvariabelecalculus vanuit eerste principes
De derivaat beantwoordt één vraag: hoe snel verandert een functie op een enkel moment? Meetkundig gezien is dat de richtingscoëfficiënt van de kromme precies op één punt, de richtingscoëfficiënt van de tangente die daar net aan raakt.
Denk aan de snelheidsmeter in een rijdende auto. Je gemiddelde snelheid over een uur is de totale afstand gedeeld door de totale tijd, maar de naald laat iets scherpers zien: precies hoe hard je op dit eigenste moment gaat. De afgeleide is die naald, de veranderingssnelheid bevroren op één enkel moment in plaats van uitgesmeerd over een interval.
Maar hier is het mysterie. Richtingscoëfficiënten vereisen twee punten: verandering in y over verandering in x. Een enkel punt geeft je niets om mee te meten. Dus hoe kan één punt een richtingscoëfficiënt hebben? Het trucje is om te naderen.