Eénvariabelecalculus vanuit eerste principes
Informeel is een functie continuaar als je het zonder op te tillen met de pen kunt tekenen: geen gaten, sprongen of plotselinge explosies. De precieze versie bepaalt dit met de limiet die je net hebt geleerd: bij elke punt moet waar de functie naart overeenkomen met waar het in werkelijkheid is.
Drie dingen moeten samenvallen: f(a) bestaat, de limiet bestaat en ze zijn gelijk. Als een van de drie mislukt, heb je een discontinuïteit, en er zijn exact drie soorten.
Een verwijderbare discontinuïteit is één ontbrekend punt, een gat, waar de limiet bestaat maar de functie dat waarde heeft gemist (zoals het (x²−4)/(x−2) gat). Een sprong gebeurt als de linker en rechterlimieten verschillen, zodat de grafiek van een niveau naar het andere springt. Een oneindige discontinuïteit is een verticale asymptoot waar de functie schiet af naar ±∞ (zoals 1/x bij 0).