Meervariabelecalculus vanuit eerste principes
Maak de Jacobiaan vierkant (n invoeren, n uitvoeren) en de determinant krijgt een concrete meetkundige taak. Uit de lineaire algebra weten we dat de determinant van een matrix de factor is waarmee deze volume schaalt. De Jacobiaan-determinant vertelt je hoeveel een afbeelding een klein stukje ruimte uitrekt of inkrimpt wanneer dat erdoorheen gaat.
Als |det J| > 1, komt een klein blokje invoerruimte er groter uit, dus de afbeelding vergroot. Als |det J| , komt het er kleiner uit, dus de afbeelding krimpt. Als det J = 0, wordt het blokje plat geplet: de afbeelding laat een dimensie instorten en is lokaal niet-inverteerbaar.
Teken een klein vierkantje op een vel rekbaar rubber, en trek vervolgens aan het vel om het raster te vervormen. De Jacobiaanse determinant is het enige getal dat je vertelt hoeveel de oppervlakte van dat kleine vierkantje groeide of kromp in de rek. Trek het rubber in beide richtingen en het vierkantje blaast op; plet het tot een enkele vouw en de oppervlakte daalt naar nul.