Meervariabelecalculus vanuit eerste principes
De gradiënt bundelde alle eerste afgeleiden. De Hessiaan bundelt alle tweede afgeleiden van een scalaire functie f: Rⁿ → R in een matrix. Waar de gradiënt de helling geeft, geeft de Hessiaan de kromming: hoe de helling zelf verandert terwijl je rondbeweegt.
Volgens de stelling van Clairaut (Les 6) geldt Hᵢⱼ = Hⱼᵢ, dus de Hessiaan is altijd symmetrisch voor de gladde functies waar het ons om gaat. Dat is een geschenk: symmetrische matrices hebben reële eigenwaarden en orthogonale eigenvectoren, en die eigenwaarden zijn precies de krommingen langs de hoofdrichtingen.
Als de gradiënt de snelheidsmeter van een oppervlak is, dan is de Hessiaan zijn krommingsdashboard: het rapporteert hoe de helling zelf tegelijkertijd in elke richting buigt. Een oppervlak dat overal om je heen omhoog buigt, leest als de bodem van een vallei; overal naar beneden buigen leest als de top van een koepel; de ene kant op en de andere kant neer is een zadel. De Hessiaan pakt dat allemaal samen in één symmetrisch raster van tweede afgeleiden.